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Análisis Matemático 66
2024
GUTIERREZ (ÚNICA)
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ANÁLISIS MATEMÁTICO 66 CBC
CÁTEDRA GUTIERREZ (ÚNICA)
6.
Determine los intervalos de concavidad y convexidad y localice los puntos de inflexión de las siguientes funciones
e) $f(x)=x e^{-x}$
e) $f(x)=x e^{-x}$
Respuesta
Vamos a seguir los pasos que vimos en la clase "Puntos de inflexión. Concavidad de una función" 😊
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1) El dominio de la función es $\mathbb{R}$
2) Calculamos $f'(x)$ y $f''(x)$
$
f'(x) = e^{-x} - xe^{-x}
$
$
f''(x) = -e^{-x} - e^{-x} + xe^{-x} = -2e^{-x} + xe^{-x} $
3) Igualamos $f''(x)$ a cero para encontrar los puntos de inflexión
$
-2e^{-x} + xe^{-x} = 0
$
Sacamos factor común $e^{-x}$:
$
e^{-x}(-2 + x) = 0
$
Como la exponencial nunca es cero, la única solución es $x = 2$
(Ay qué regalo esto comparado a los anteriores que veníamos resolviendoooo ☠️)
4) Dividimos la recta real en intervalos donde $f''(x)$ es continua y no tiene raíces, y nos fijamos el signo:
a) \( (-\infty, 2) \rightarrow f''(x) < 0 \rightarrow f(x) \) es cóncava hacia abajo
b) \( (2, +\infty) \rightarrow f''(x) > 0 \rightarrow f(x) \) es cóncava hacia arriba
Por lo tanto, $x = 2$ es un punto de inflexión.